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Almost 1-1 extensions, equicontinuous systems and residually finite groups
(2024) Gómez Ortiz, Jaime Andrés; Cortéz, María Isabel; Pontificia Universidad Católica de Chile. Facultad de Matemáticas
The purpose of this document is to present our study on the various properties of almost 1-1 extensions of G-odometers with regards to the realization of Choquet simplices, mean-equicontinuity, and the construction of specific almost 1-1 exten- sions of equicontinuous systems. These systems can be viewed as a topological generalization of equicontinuous systems with diverse behavior on some aspects as entropy, the set of probability invariant measures, and more. Each problem is addressed within a general framework without assuming any amenable property on the acting group, except for the last problem where amenability was essential for constructing a specific type of almost 1-1 extensions. This thesis is divided into three parts, with the first two chapters presenting the results of two different manuscripts that are published and submitted, respectively.
C*-algebric methods for transport phenomena
(2023) Polo Ojito, Danilo; De Nittis, Giuseppe; Pontificia Universidad Católica de Chile. Facultad de Matemáticas
Essential minimum in families
(2023) Morales Inostroza, Marcos; Kiwi Krauskopf, Jan Beno; Sombra, Martín; Pontificia Universidad Católica de Chile. Facultad de Matemáticas
Fibred non-hyperbolic quadratic families
(2024) Domínguez Calderón, Igsyl; Ponce Acevedo, Mario; Pontificia Universidad Católica de Chile. Facultad de Matemáticas
The aim of this thesis is two-folding. In the initial instance, we have made signifIcant progress in the problem of density of hyperbolic components within the context of fibred quadratic polynomial dynamics by demonstrating the existence of robust non- hyperbolic fibred quadratic polynomials. Secondly, we present a more complex class of invariant sets that are distinct from the invariant curves for fibred polynomial dynamics, called multi-curves. Furthermore, a construction for multi-curves in quadratic polynomial dynamics is shown, resulting in the attainment of not only invariant multi-curves, but also with the characteristic of being attracting.
Fitting time-varying parameters to astronomical time series
(2022) Soto Vásquez, Darlin Macarena; Motta, Giovanni; Galea Rojas, Manuel Jesús; Pontificia Universidad Católica de Chile. Facultad de Matemáticas
Inference from RDS data over Directed Networks
(2023) Sepúlveda Peñaloza, Alejandro Adrián; Beaudry, Isabelle; Pontificia Universidad Católica de Chile. Facultad de Matemática
El muestreo dirigido por los encuestados (Respondent-Driven Sampling, RDS) es una técnica utilizada para recolectar datos de poblaciones humanas socialmente conectadas que no tienen un marco de muestreo definido. Un paso fundamental para realizar inferencias basadas en el diseño de datos RDS es estimar las probabilidades de muestreo. Tradicionalmente, se ha asumido que una cadena de Markov de primer orden sobre una red completamente conectada y no dirigida representa adecuadamente el RDS. Sin embargo, este modelo simplificado no tiene en cuenta que la red puede ser dirigida y homofílica. Este trabajo propone métodos para abordar estos problemas y estimar la prevalencia de un estado de infección en redes de este tipo.Las principales contribuciones metodológicas de esta tesis son tres: primero, la introducción de un modelo de configuración de red parcialmente dirigida y homofílica; segundo, el desarrollo de dos representaciones matemáticas del proceso de muestreo RDS en el modelo propuesto; y tercero, la propuesta de un modelo bayesiano que considera una red dirigida y el número de conexiones entre nodos infectados y no infectados para estimar la prevalencia del estado de infección.Se realizaron estudios de simulación para demostrar que las probabilidades de muestreo resultantes con nuestras propuestas son similares a las del RDS tradicional, mejorando la estimación de prevalencia bajo diversos escenarios realistas, asumiendo que dichas probabilidades son conocidas. La estimación de la prevalencia del estado de infección se realiza bajo fuertes suposiciones sobre la red, como la ausencia de homofilia o la dirección de los bordes.Para la aplicación del modelo, se utilizó la teoría de copulas, el modelamiento de distribuciones marginales y un modelo de superpoblación para estimar información a partir de datos no observados de la red. Las simulaciones realizadas mostraron una mejora en la estimación de la prevalencia del estado de infección en términos de sesgo y variabilidad utilizando datos de RDS.
Lower bounds for the relative regulator
(2021) Castillo Gárate, Víctor; Friedman R., Eduardo; Pontificia Universidad Católica de Chile. Facultad de Matemáticas
El regulador relativo Reg(L/K) de una extensión de cuerpos de números L/K está estrechamente relacionada con el cuociente Reg(L)/Reg(K) de reguladores clásicos de L y K. En 1999 Friedman y Skoruppa [FS99] demostraron que Reg(L/K) posee cotas inferiores que crecen exponencialmente con el grado absoluto [L : Q], siempre que el grado relativo [L : K] sea suficientemente grande. Friedman y Skoruppa partieron de una desigualdad analítica que involucra Reg(L/K) y desarrollaron un análisis asintótico que funciona bien para grados relativos [L : K] ≥ 40. En esta tesis, partimos de la misma desigualdad, pero para grados [L : K] ≤ 40 usamos técnicas numéricas y asintóticas para demostrar el crecimiento exponencial de las cotas inferiores cuando [L : K] ≥ 12. Imponiendo algunas hipótesis sobre la descomposición en L/K de los lugares arquimedianos, obtenemos también buenas cotas inferiores para Reg(L/K) para algunos grados [L : K] < 12. Por ejemplo, si K es totalmente complejo obtenemos buenas cotas inferiores para el regulador relativo si [L : K] ≥ 5.
Medidas de acuerdo bajo el modelo estructural multivariado
(2022) Ávila Albornoz, Julio Cesar; Galea Rojas, Manuel Jesús; Pontificia Universidad Católica de Chile. Facultad de Matemáticas
En biometría, ingeniería, medicina y otras áreas es común disponer de distintos instrumentos que midan alguna característica en una unidad experimental. En ocasiones, un nuevo instrumento es propuesto como una alternativa más económica o práctica respecto al instrumento estándar. Si ambos trabajan en una misma escala, es deseable medir el grado de acuerdo o de concordancia que alcanzan. En este contexto, existen varias propuestas para medir el acuerdo entre instrumentos de las cuales se profundizaría en: El Coeficiente de Correlación de Concordancia (CCC) y la Probabilidad de Acuerdo (PA). Las mediciones de los instrumentos pueden estar sujetas a error en la medición. Si estos errores de medición no fueran considerados, las inferencias realizadas podrían estar comprometidas o ser incorrectas. Los Modelos con Error de Medición (MEM) permiten incorporar la incertidumbre que el proceso de medición pueda tener. Una aplicación de los MEM es el modelo de calibración en su versión estructural. Para modelar el error de medición, los MEM asumen una distribución multivariante, siendo la distribución Normal multivariada de gran utilidad en varias aplicaciones. Sin embargo, en presencia de colas pesadas o de datos atípicos, la suposición de normalidad puede ser poco adecuada llevando a comprometer los resultados. Una manera de afrontar este problema es emplear la distribución t multivariada considerada como una extensión de la distribución Normal multivariada. El objetivo de este trabajo es desarrollar bajo el Modelo Estructural Multivariado, herramientas de inferencia estadística para las medidas de acuerdo: CCC y PA. El Modelo Estructural considera el uso de la distribución Normal Multivariada y la t multivariada. Las herramientas estadísticas fueron aplicadas a conjuntos de datos clásicos en la comparación de instrumentos y además, en aplicaciones financieras como el retorno de acciones y las proyecciones del tipo de cambio por parte de operadores financieros.
Métodos DPG para el problema quad-curl
(2024) Herrera Ortiz, Pablo; Heuer, Norbert; Führer, Thomas; Pontificia Universidad Católica de Chile. Facultad de Matemáticas
Los problemas relevantes de la magnetohidrodinámica y la dispersión electromagnética utilizan operadores diferenciales de cuarto orden de tipo rotacional, generalmente denominados operadores quad-curl. Su uso requiere métodos de aproximación numérica. En el caso de los operadores quad-curl, la literatura correspondiente es escasa. La discretización de operadores de cuarto orden es difícil debido al requisito de regularidad para las aproximaciones conformes y la presencia de kernels no triviales. Proponemos emplear el método de Petrov-Galerkin discontinuo (método DPG) con funciones de test óptimas. Este es un marco propuesto por Demkowicz y Gopalakrishnan que tiene como objetivo la estabilidad discreta automática de los esquemas de aproximación.El trabajo está dividido en tres partes. La primera parte examina el problema quad-div en dos y tres dimensiones, mostrando su relación con el operador quad-curl $Curl^4$ en el caso 2D. Presentamos el problema como sistemas de primer y segundo orden. Adicionalmente, proporcionamos un método completamente discreto y realizamos un experimento numérico para el caso adaptativo. En la segunda parte, escribimos el operador quad-curl como $-\Curl\Delta\Curl$, formulamos el problema como un sistema de segundo orden y proporcionamos una formulación variacional ultra-débil. Utilizamos los operadores de Fortin del método DPG para el problema de Kirchhoff--Love en 2D para analizar el esquema completamente discreto. Mostramos una aplicación al problema de Stokes en 2D con cargas en $L_2$ y $H^{-1}$. En la tercera parte, estudiamos directamente el operador $\Curl^4$ en 3D como un sistema de segundo orden y proporcionamos una formulación variacional ultra-débil. En este caso, la existencia de un operador de Fortin es un problema abierto.A lo largo de la tesis, empleamos el marco teórico DPG con formulaciones ultra-débiles. La mayor parte de nuestro análisis se centra en estudiar los operadores de traza, los espacios de traza y los saltos. Estos son claves para caracterizar la regularidad, la conformidad y las condiciones de contorno. Desarrollamos operadores de Fortin los cuales son necesarios para la estabilidad de las formulaciones mixtas. Para todos los casos definimos y analizamos los operadores de traza y espacios necesarios, demostramos el buen planteamiento de las formulaciones variacionales y su discretización, y derivamos estimaciones de error a priori.También examinamos técnicas para la inclusión de condiciones de contorno no homogéneas.Proporcionamos experimentos numéricos para todos los problemas y formulaciones. Estos confirman las propiedades de convergencia esperadas.
Modelling predictive validity problems : a partial identification approach
(2021) Alarcón Bustamante, Eduardo Sebastián; San Martín, Ernesto; Pontificia Universidad Católica de Chile. Facultad de Matemáticas
New contributions to joint models of longitudinal and survival outcomes : two-stage approaches
(2021) Leiva Yamaguchi, Valeria; Silva, Danilo Alvares da; Pontificia Universidad Católica de Chile. Facultad de Matemáticas
Joint models of longitudinal and survival outcomes have gained much popularity over the last three decades. This type of modeling consists of two submodels, one longitudinal and one survival, which are connected by some common term. Unsurprisingly, sharing information makes the inferential process highly time-consuming. This problem can be overcome by estimating the parameters of each submodel separately, leading to a natural reduction in the complexity of joint models, but often producing biased estimates. Hence, we propose different two-stage strategies that first fits the longitudinal submodel and then plug the shared information into the survival submodel. Our proposals are developed for both the frequentist and Bayesian paradigms. Specifically, our frequentist two-stage approach is based on the simulation-extrapolation algorithm. On the other hand, we propose two Bayesian approaches, one inspired by frailty models and another that uses maximum a posteriori estimations and longitudinal likelihood to calculate posterior distributions of random effects and survival parameters. Based on simulation studies and real applications, we empirically compare our two-stage approaches with their main competitors. The results show that our methodologies are very promising, since they reduce the estimation bias compared to other two-stage methods and require less processing time than joint specification approaches.
On accumulation points of volumes of stable surfaces with one cyclic quotient singularity
(2021) Torres Valencia, Diana Carolina; Urzúa Elia, Giancarlo A.; Pontificia Universidad Católica de Chile. Facultad de Matemáticas
The set of volumes of stable surfaces does have accumulation points. In this paper, we study this phenomenon for surfaces with one cyclic quotient singularity, towards answering the question under which conditions we can still have boundedness. Effective bounds allow listing singularities that might appear on a stable surface after fixing its invariants. We find optimal inequalities for stable surfaces with one cyclic quotient singularity, which can be used to prove boundedness under certain conditions. We also introduce the notion of generalized T-singularity, which is a natural generalization of the well-known T-singularities. By using our inequalities, we show how the accumulation points of volumes of stable surfaces with one generalized T-singularity are formed.
On the geography of 3-folds via asymptotic behavior of invariants
(2023) Torres Nova, Yerko Alejandro; Urzúa Elia, Giancarlo A.; Pontificia Universidad Católica de Chile. Facultad de Matemáticas
Roughly speaking, the problem of geography asks for the existence of varieties of general type after we fix some invariants. In dimension 1, where we fix the genus, the geography question is trivial, but already in dimension 2 it becomes a hard problem in general. In higher dimensions, this problem is essentially wide open. In this paper, we focus on geography in dimension 3. We generalize the techniques which compare the geography of surfaces with the geography of arrangements of curves via asymptotic constructions. In dimension 2 this involves resolutions of cyclic quotient singularities and a certain asymptotic behavior of the associated Dedekind sums and continued fractions. We discuss the general situation with emphasis in dimension 3, analyzing the singularities and various resolutions that show up, and proving results about the asymptotic behavior of the invariants we fix.
Problemas sobre flujos por curvatura extrínseca no lineales
(2023) Torres Santaella, José Gabriel; Sáez Trumper, Mariel; Pontificia Universidad Católica de Chile. Facultad de Matemáticas
Un flujo geométrico consiste en encontrar soluciones de ecuaciones parabólicas en derivadas parciales que involucran cantidades geométricas de dos o más variedades dadas. En el caso de los flujos geométricos extrínsecos, las soluciones corresponden a una familia de un parámetro de inmersiones cuyas deformaciones dependen de las curvaturas de la hipersuperficie en una variedad riemanniana ambiente. El flujo geométrico extrínseco más estudiado en la literatura es el flujo por la curvatura media (FCM), ya que es el flujo gradiente del funcional de área. En la Introducción de esta tesis presentamos una breve descripción del FCM actuando sobre hipersuperficies en Rn+1. En particular, queremos mencionar el trabajo pionero de Huisken en [Hui2] que demostró que cualquier hipersuperficie cerrada y convexa en Rn+1, en el sentido de que las curvaturas principales son no negativas, se encoge al evolucionar por FCM hasta un punto en tiempo finito. Este fenómeno se suele denominar como desarrollo de una singularidad bajo el FCM, y es una tarea importante entender por qué aparecen singularidades, y cómo tratar con ellas luego de rescalar la hipersuperficie cerca de la singularidad. Por otra parte, es natural preguntarse qué ocurre si consideramos otras funciones de curvatura en lugar de la curvatura media en el contexto de flujos geométricos extrínsecos. En este espíritu, los trabajos de B. Andrews y sus colaboradores en [And2], [And1], [AMZ] y [ALM] desarrollaron una potente teoría, similar a la dada para el FCM, para hipersuperficies estrictamente convexas en Rn+1, donde la función de curvatura es convexa o cóncava. Por función de curvatura entendemos una función homogénea suave y simétrica cuyo dominio es un cono abierto de Rn. En esta tesis nos interesamos en soluciones eternas, soluciones que están definidas para todo tiempo, de flujos por curvatura extrínseca completamente no lineales tal que la evolución está dada por traslaciones en una dirección unitaria fija. Además, nos referimos a estas soluciones por solitones de traslación de la función de curvatura que estemos estudiando.Los solitones de traslación pueden verse como hipersuperficies en Rn+1 que satisfacen una ecuación diferencial parcial de la forma () = h⌫, vi, donde () es la función de curvatura evaluada en las curvaturas principales de la hipersuperficie, ⌫ es el vector normal unitario que apunta hacia afuera de la hipersuperficie (mirar Remark 5.0.1), y v 2 Sn (normalmente v = en+1) es la dirección de la traslación del flujo. Es importante destacar que esta ecuación es localmente uniforme elíptica cuando las curvaturas principales pertenecen al cono := ⇢ 2 Rn : () > 0, @ @i > 0. Esto nos permite estudiar los trasladores como en el contexto de la geometría diferencial clásica. Por otro lado, cuando la función de curvatura es la curvatura media, los trasladores son un modelo para las singularidades de tipo II del FCM. Esto significa que el supremo de la norma de la segunda forma fundamental estalla en una tasa mayor que O ✓ 1 pT t ◆, donde T es el tiempo máximo de existencia del flujo, y luego de escalar la hipersuperficie de manera adecuada, la evolución de la hipersuperficie converge a un H-traslador del espacio ambiente. Además, los trasladores del FCM son hipersuperficies mínimas en (Rn+1, ehx,vi dx2). Este es un hecho notable para el estudio de estas soluciones ya que la teoría local de hipersuperficies mínimas se puede aplicar para construirlas y caracterizarlas. Desgraciadamente, cuando la función de curvatura no es lineal, sólo se sabe que las singularidades de tipo II pueden modelarse mediante trasladores si además la función de curvatura es convexa como función definida en su dominio. Además, no tenemos esperanzas de que estas hipersuperficies sean mínimas en un espacio euclidiano conforme como en el caso de la curvatura media. Por ello, el estudio de los trasladores para funciones de curvatura no lineales es más complicado, y necesita que se desarrollen otro tipos de técnicas para el desarrollo de esta teoría. Los resultados de esta tesis están en el espíritu de explotar el hecho de que la ecuación () = h⌫, vi es localmente. Uniformemente elíptica cuando 2 . En particular, pudimos desarrollar propiedades geométricas para los trasladores contenidas en el capítulo 5. Una de las propiedades geométricas que obtuvimos fue un principio de tangencia, y como corolarios, también obtuvimos un resultado de no existencia, y un teorema de unicidad cuando el solitón de traslación es un grafo estrictamente convexo definido sobre una bola (mirar Teorema 5.0.5). Este último resultado se obtuvo mediante el método de los planos móviles de Alexandrov aplicado para esta ecuación. Por otra parte, el resultado principal de esta tesis es una estimación de convexidad en el espíritu de [SS], donde los autores mostraron que un H-traslador 2-convexo con H > 0 en Rn con n 3, es convexo. Hasta donde sabemos, sigue siendo un problema abierto si un -traslador que es un gráfico en Rn+1 tal que 2 y : ! R es una función de curvatura cóncava es convexo o no. Afortunadamente, bajo las hipótesis del Teorema de estimación de convexidad 2.2.12, pudimos demostrar que para una función de curvatura estrictamente concava, los -solitones de traslación que son uniformente 2-convexos cuyas curvaturas principales satisfacen ↵H  ( + 1) para constantes ↵ y positivas, se tiene que el mínimo de las curvaturas principales es asintóticamente cero al infintio del soliton de traslación. Además, para la familia de las funciones de curvatura Qk = Sk+1 Sk, donde Sk denota el polinomio simétrico elemental de grado k en n-variables, mostramos en el Capítulo 3 estimaciones de gradiente y de segundo orden en el espíritu del trabajo de Ecker y Huisken en [EH1]. La principal contribución de este capítulo es un resultado de tipo Liouville Teorema 3.0.3 para Qk-trasladores que son planos en el infinito. Finalmente, también construimos trasladores rotacionalmente simétricos para la función de curvatura pn Sn y Qn1 en Rn+1. Estas soluciones son de tipo “bowl” ya que son gráficos estrictamente convexos definidos en una bola o en todo Rn. Merece la pena mencionar un trabajo reciente de [Ren], en el que el autor construye soluciones de tipo “bowl” para una clase general de funciones de curvatura que son ↵-homogéneas con ↵ 1. 2 . Además, caracterizó cuándo la solución de tipo “bowl” estará definida en una bola o en todo el hiperplano en términos de la función de curvatura.
Problems on conformal invariance and Yamabe-Type flows
(2024) Espinal Florez, María Fernanda; Sáez Trumper, Mariel; Pontificia Universidad Católica de Chile. Facultad de Matemáticas
This work is specifically focused on the study of quantities in Riemannian geometry under a conformal change of metric, that is, under changes of metric which stretch the length of vectors but preserve the angle between any pair of vectors. In this context, my thesis work has centered on the study of symmetric polynomials σk of the eigenvalues of the Schouten tensor, which satisfy a tranformation law under conformal changes. This work consists of two parts. The rst problem concentrates on Yamabe-type ows for σk-curvature, which are classic examples of intrinsic non-linear geometric ows. Inspired by work of Daskalopoulos and Sesum [22], we investigate the existence and classi cation of conformally at rotationally symmetric k-Yamabe gradient solitons replacing scalar curvature by σk-curvature. Our rst result reduces the classi cation of k-Yamabe solitons to the classi cation of global smooth solutions of a fully nonlinear elliptic equation. Regarding the existence result, through a phase-plane analysis of an autonomous system of ordinary equations as in [71], we were able to prove local existence of the ow under conditions of admissibility for the initial metric when n ≥ 2k. Additionally, we had to analyze the asymptotic behavior and solution pro le in each case, taking into account, especially the admissibility of the solution. In contrast with the classical case, the fully non-linear nature of the problem requires additional restrictions (to ensure admissibility) and a more delicate analysis. On the other hand, in collaboration with Professor M. González [27] we work on the k-Yamabe singular problem. The research was focused on constructing metrics with constant σ2-curvature and non-isolated singularities. Speci cally, we contructed a complete non-compact Riemannian metrics with positive constant σ2-curvature on the sphere Sn with a prescribed singular set Λ given by a disjoint union of closed submanifolds whose dimension is positive and strictly less than n−√n−2 2 . This is a fully non-linear problem, nevertheless, we show that the classical gluing method (used by Mazzeo-Pacard for the scalar curvature [56]) still works in this setting since the linearized operator has good mapping properties in weighted spaces. The idea to construct this metric is to nd rst an approximate metric with the right asymptotic behavior near the singularity. Even though many of our arguments would work for a general k, we have some computational di culties that restrict our theorem to k = 2.
Some advances in a conjecture of Watkins and an analogue over function fields
(2023) Caro Reyes, Jerson; Pastén Vásquez, Héctor; Pontificia Universidad Católica de Chile. Facultad de Matemáticas
Our results are divided into two main parts, both related to a conjecture by Watkins. In 2002, Watkins conjectured that the rank of an elliptic curve defined over Q is at most the 2-adic valuation of its modular degree. The first part is related to presenting some approaches to Watkins’s conjecture in its original version. We prove this conjecture for semistable elliptic curves having exactly one rational point of order 2, provided that they have an odd number of primes of non-split multiplicative reduction or no primes of split multiplicative reduction. In addition, we show that this conjecture is satisfied when E is any quadratic twist of an elliptic curve with non-trivial rational 2-torsion and prime power conductor, in particular, for the congruent number elliptic curves. In the second part, we consider the analogous problem over function fields of positive characteristic, and we prove it in several cases. More precisely, every modular semistable elliptic curve over Fq(T) after extending constant scalars and every quadratic twist of a modular elliptic curve over Fq(T) by a polynomial with sufficiently many prime factors satisfy this version of Watkins’s conjecture. Additionally, we prove the analogue of Watkins’s conjecture for a well-known family of elliptic curves with unbounded rank due to Ulmer. In addition, we include a final appendix describing joint work with Hector Pasten [16] on a generalization of the Chabauty-Coleman bound for surfaces. While this is not directly related to the core of the thesis, it is a report on work that was performed during my time as a Ph.D. student.
Some applications of thermodynamic formalism to numerical systems
(2021) Contreras, Erik; Iommi, Godofredo; Pontificia Universidad Católica de Chile. Facultad de Matemáticas
Spatiotemporal modeling of count data
(2021) Morales Navarrete, Diego Fabián; Castro Cepero, Luis Mauricio; Pontificia Universidad Católica de Chile. Facultad de Matemáticas
Modeling spatial and spatio-temporal data is a challenging task in statistics. In many applications, the observed data can be modeled using Gaussian, skew-Gaussian or even restricted random field models. However, in several fields, such as population genetics, epidemiology, aquaculture, among others, the data of interest are often count data, and therefore the mentioned models are not suitable for the analysis of this type of data. Consequently, there is a need for spatial and spatio-temporal models that are able to properly describe data coming from counting processes. Commonly two approaches are used to model this type of data: generalized linear mixed models (GLMMs) with Gaussian random field (GRF) effects, and copula models. Unfortunately, these approaches do not give an explicit characterization of the count random field such us their q-dimensional distribution or correlation function. It is important to stress that GLMMs models induces a discontinuity in the path. Therefore, the correlation function is not continuous at the origin and samples located nearby are more dissimilar than in the continuous case. Moreover, there are cases in which the copula representation for discrete distributions is not unique, so it is unidentifiable. Hence, to deal with the latter mentioned issues, we propose a novel approach to model spatial and spatio-temporal count data in an efficient and accurate manner. Briefly, starting from independent copies of a “parent” GRF, a set of transformations can be applied, and the result is a non-Gaussian random field. This approach is based on the characterization of count random fields that inherit some of the well-known geometric properties from GRFs. For instance, if one chooses an isotropic correlation function defined in the parent GFR, then the count random fields have an isotropic correlation function. Firstly, we define a general class of count random fields. Then, three particular count random fields are studied. The first one is a Poisson random field, the second one is a count random field that considers excess zeros and the last one is a count random field that considers over-dispersion. Additionally, a simulation study will be developed to assess the performance of the proposed models. In that way, we are going to evaluate them through several simulation scenarios, making variations in the parameters. The results show accurate estimations of the parameters for different scenarios. Additionally, we assess the performance of the optimal linear prediction of the proposed models and it is compared with GLMMs and copula models. The results show that the proposed models have a better performance than GLMMs models and a quite similar performance with copula models. Finally, we analyze two real data applications. The first one considers a zero inflated version of the proposed Poisson random field to deal with excess zeros and the second one considers an over-dispersed count random field.
Statistical methods for the analysis of Polytomous response data in non-cognitive tests
(2021) Calderón Maldonado, Francisca Loreto; González Burgos, Jorge Andrés; Pontificia Universidad Católica de Chile. Facultad de Matemáticas
In psychology, education, and other social science disciplines, questionnaires and surveys are useful instruments to measure latent variables such as behaviors, ability, or perceptions about specific constructs. Measuring latent traits, abilities, and in general, any type of nonobservable variables is much more complicated than measuring observable features. Latent variables cannot be measured directly but only indirectly through multiple observed variables called indicators (i.e., observed variables of either polytomous or dichotomous type). The scores on items in the questionnaires can be considered indicators of latent variables and are thus used to measure the unobserved constructs of interest. The main theme of this dissertation is the study and implementation of statistical models and methods for the analysis of polytomous response data in non-cognitive tests. Polytomous data arise when items are scored in more than two categories (e.g., strongly disagree, disagree, agree, strongly agree), as in surveys and questionnaires. We have adapted and extended existing statistical models and methods to meet the requirements of various approaches based on polytomous data. The empirical data sets used for the applications of the models are meant as exemplars of a broader category and a more extensive range of domains.
Subshifts on groups and computable analysis
(2024) Carrasco Vargas, Nicanor; Rojas González, Luis Cristóbal; Pontificia Universidad Católica de Chile. Facultad de Matemáticas
Subshifts are a fundamental class of topological dynamical systems. The study of subshifts on groups different from $\mathbb{Z}$, such as $\mathbb{Z}^d$, $d\geq 2$, has been a subject of intense research in recent years. These investigations have unveiled aremarkable connection between dynamics and recursion theory. That is, different questions about the dynamics of these systems have been answered in recursion-theoretical terms. In this work we further explore this connection. We use the framework of computable analysis to explore the class of effective dynamical systems on metric spaces, and relate these systems to subshifts of finite type (SFTs) on groups. We prove that every effective dynamical system on a general metric space is the topological factor of an effective dynamical system with topological dimension zero. We combine this result with existing simulation results to obtain new examples of systems that are factors of SFTsWe also study a conjugacy invariant for subshifts on groups called Medvedev degree. This invariant is a complexity measure of algorithmic nature. We develop the basic theory of these degrees for subshifts on arbitrary finitely generated groups. Using these tools we are able to classify the values that this invariant attains for SFTs and other classes of subshifts on several groups. Furthermore, we establish a connection between these degrees and the distribution of isolated points in the space of all subshifts. Motivated by the study of Medvedev degrees of subshifts, we also consider translation-like actions of groups on graphs. We prove that every connected, locally finite, and infinite graph admits a translation by $\mathbb{Z}$, and that this action can be chosen transitive exactly when the graph has one or two ends. This generalizes a result of Seward about translation-like action of $\mathbb{Z}$ on finitely generated groups. Our proof is constructive, and allows us to prove that under natural hypotheses, translation-like actions by $\mathbb{Z}$ on groups and graphs can be effectively computed.

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