3.22 Facultad de Matemáticas
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- ItemC*-algebric methods for transport phenomena(2023) Polo Ojito, Danilo; De Nittis, Giuseppe; Pontificia Universidad Católica de Chile. Facultad de Matemáticas
- ItemEssential minimum in families(2023) Morales Inostroza, Marcos; Kiwi Krauskopf, Jan Beno; Sombra, Martín; Pontificia Universidad Católica de Chile. Facultad de Matemáticas
- ItemFibred non-hyperbolic quadratic families(2024) Domínguez Calderón, Igsyl; Ponce Acevedo, Mario; Pontificia Universidad Católica de Chile. Facultad de MatemáticasThe aim of this thesis is two-folding. In the initial instance, we have made signifIcant progress in the problem of density of hyperbolic components within the context of fibred quadratic polynomial dynamics by demonstrating the existence of robust non- hyperbolic fibred quadratic polynomials. Secondly, we present a more complex class of invariant sets that are distinct from the invariant curves for fibred polynomial dynamics, called multi-curves. Furthermore, a construction for multi-curves in quadratic polynomial dynamics is shown, resulting in the attainment of not only invariant multi-curves, but also with the characteristic of being attracting.
- ItemInference from RDS data over Directed Networks(2023) Sepúlveda Peñaloza, Alejandro Adrián; Beaudry, Isabelle; Pontificia Universidad Católica de Chile. Facultad de MatemáticaEl muestreo dirigido por los encuestados (Respondent-Driven Sampling, RDS) es una técnica utilizada para recolectar datos de poblaciones humanas socialmente conectadas que no tienen un marco de muestreo definido. Un paso fundamental para realizar inferencias basadas en el diseño de datos RDS es estimar las probabilidades de muestreo. Tradicionalmente, se ha asumido que una cadena de Markov de primer orden sobre una red completamente conectada y no dirigida representa adecuadamente el RDS. Sin embargo, este modelo simplificado no tiene en cuenta que la red puede ser dirigida y homofílica. Este trabajo propone métodos para abordar estos problemas y estimar la prevalencia de un estado de infección en redes de este tipo.Las principales contribuciones metodológicas de esta tesis son tres: primero, la introducción de un modelo de configuración de red parcialmente dirigida y homofílica; segundo, el desarrollo de dos representaciones matemáticas del proceso de muestreo RDS en el modelo propuesto; y tercero, la propuesta de un modelo bayesiano que considera una red dirigida y el número de conexiones entre nodos infectados y no infectados para estimar la prevalencia del estado de infección.Se realizaron estudios de simulación para demostrar que las probabilidades de muestreo resultantes con nuestras propuestas son similares a las del RDS tradicional, mejorando la estimación de prevalencia bajo diversos escenarios realistas, asumiendo que dichas probabilidades son conocidas. La estimación de la prevalencia del estado de infección se realiza bajo fuertes suposiciones sobre la red, como la ausencia de homofilia o la dirección de los bordes.Para la aplicación del modelo, se utilizó la teoría de copulas, el modelamiento de distribuciones marginales y un modelo de superpoblación para estimar información a partir de datos no observados de la red. Las simulaciones realizadas mostraron una mejora en la estimación de la prevalencia del estado de infección en términos de sesgo y variabilidad utilizando datos de RDS.
- ItemMedidas de acuerdo bajo el modelo estructural multivariado(2022) Ávila Albornoz, Julio Cesar; Galea Rojas, Manuel Jesús; Pontificia Universidad Católica de Chile. Facultad de MatemáticasEn biometría, ingeniería, medicina y otras áreas es común disponer de distintos instrumentos que midan alguna característica en una unidad experimental. En ocasiones, un nuevo instrumento es propuesto como una alternativa más económica o práctica respecto al instrumento estándar. Si ambos trabajan en una misma escala, es deseable medir el grado de acuerdo o de concordancia que alcanzan. En este contexto, existen varias propuestas para medir el acuerdo entre instrumentos de las cuales se profundizaría en: El Coeficiente de Correlación de Concordancia (CCC) y la Probabilidad de Acuerdo (PA). Las mediciones de los instrumentos pueden estar sujetas a error en la medición. Si estos errores de medición no fueran considerados, las inferencias realizadas podrían estar comprometidas o ser incorrectas. Los Modelos con Error de Medición (MEM) permiten incorporar la incertidumbre que el proceso de medición pueda tener. Una aplicación de los MEM es el modelo de calibración en su versión estructural. Para modelar el error de medición, los MEM asumen una distribución multivariante, siendo la distribución Normal multivariada de gran utilidad en varias aplicaciones. Sin embargo, en presencia de colas pesadas o de datos atípicos, la suposición de normalidad puede ser poco adecuada llevando a comprometer los resultados. Una manera de afrontar este problema es emplear la distribución t multivariada considerada como una extensión de la distribución Normal multivariada. El objetivo de este trabajo es desarrollar bajo el Modelo Estructural Multivariado, herramientas de inferencia estadística para las medidas de acuerdo: CCC y PA. El Modelo Estructural considera el uso de la distribución Normal Multivariada y la t multivariada. Las herramientas estadísticas fueron aplicadas a conjuntos de datos clásicos en la comparación de instrumentos y además, en aplicaciones financieras como el retorno de acciones y las proyecciones del tipo de cambio por parte de operadores financieros.
- ItemModelo con error de medición two-piece normal.(2019) Santoro Pizarro, Karol I.; Arellano Valle, Reinaldo Boris; Pontificia Universidad Católica de Chile. Facultad de MatemáticasEn este trabajo se discute el modelo simple con errores de medición y una extensión multivariada, donde se considera principalmente el modelo estructual, suponiendo que el error de la regresión de respuesta sigue una distribución de dos piezas. Después de confi gurar una fórmula general para distribuciones de dos piezas, nos centramos en el caso donde la densidad base es una distribución normal. Lo interesante de usar como densidad base la distribución normal, es que el desarrollo entrega una mezcla de dos componentes de distribuciones skew-normal multivariada. Esta conexión facilita la construcción de un algoritmo tipo EM para realizar la estimación de máxima verosimilitud. Se obtiene la función de probabilidad de los datos observados, que se puede maximizar mediante el uso de software estadístico existente. Inferencia sobre los parámetros de interés puede ser abordado mediante el uso de la matriz de información observada, que también se puede calcular mediante el uso de software estadístico existente. Finalmente, se realiza algunas ilustraciones numéricas de la metodología, utilizando datos simulados y reales.En este trabajo se discute el modelo simple con errores de medición y una extensión multivariada, donde se considera principalmente el modelo estructual, suponiendo que el error de la regresión de respuesta sigue una distribución de dos piezas. Después de confi gurar una fórmula general para distribuciones de dos piezas, nos centramos en el caso donde la densidad base es una distribución normal. Lo interesante de usar como densidad base la distribución normal, es que el desarrollo entrega una mezcla de dos componentes de distribuciones skew-normal multivariada. Esta conexión facilita la construcción de un algoritmo tipo EM para realizar la estimación de máxima verosimilitud. Se obtiene la función de probabilidad de los datos observados, que se puede maximizar mediante el uso de software estadístico existente. Inferencia sobre los parámetros de interés puede ser abordado mediante el uso de la matriz de información observada, que también se puede calcular mediante el uso de software estadístico existente. Finalmente, se realiza algunas ilustraciones numéricas de la metodología, utilizando datos simulados y reales.En este trabajo se discute el modelo simple con errores de medición y una extensión multivariada, donde se considera principalmente el modelo estructual, suponiendo que el error de la regresión de respuesta sigue una distribución de dos piezas. Después de confi gurar una fórmula general para distribuciones de dos piezas, nos centramos en el caso donde la densidad base es una distribución normal. Lo interesante de usar como densidad base la distribución normal, es que el desarrollo entrega una mezcla de dos componentes de distribuciones skew-normal multivariada. Esta conexión facilita la construcción de un algoritmo tipo EM para realizar la estimación de máxima verosimilitud. Se obtiene la función de probabilidad de los datos observados, que se puede maximizar mediante el uso de software estadístico existente. Inferencia sobre los parámetros de interés puede ser abordado mediante el uso de la matriz de información observada, que también se puede calcular mediante el uso de software estadístico existente. Finalmente, se realiza algunas ilustraciones numéricas de la metodología, utilizando datos simulados y reales.En este trabajo se discute el modelo simple con errores de medición y una extensión multivariada, donde se considera principalmente el modelo estructual, suponiendo que el error de la regresión de respuesta sigue una distribución de dos piezas. Después de confi gurar una fórmula general para distribuciones de dos piezas, nos centramos en el caso donde la densidad base es una distribución normal. Lo interesante de usar como densidad base la distribución normal, es que el desarrollo entrega una mezcla de dos componentes de distribuciones skew-normal multivariada. Esta conexión facilita la construcción de un algoritmo tipo EM para realizar la estimación de máxima verosimilitud. Se obtiene la función de probabilidad de los datos observados, que se puede maximizar mediante el uso de software estadístico existente. Inferencia sobre los parámetros de interés puede ser abordado mediante el uso de la matriz de información observada, que también se puede calcular mediante el uso de software estadístico existente. Finalmente, se realiza algunas ilustraciones numéricas de la metodología, utilizando datos simulados y reales.En este trabajo se discute el modelo simple con errores de medición y una extensión multivariada, donde se considera principalmente el modelo estructual, suponiendo que el error de la regresión de respuesta sigue una distribución de dos piezas. Después de confi gurar una fórmula general para distribuciones de dos piezas, nos centramos en el caso donde la densidad base es una distribución normal. Lo interesante de usar como densidad base la distribución normal, es que el desarrollo entrega una mezcla de dos componentes de distribuciones skew-normal multivariada. Esta conexión facilita la construcción de un algoritmo tipo EM para realizar la estimación de máxima verosimilitud. Se obtiene la función de probabilidad de los datos observados, que se puede maximizar mediante el uso de software estadístico existente. Inferencia sobre los parámetros de interés puede ser abordado mediante el uso de la matriz de información observada, que también se puede calcular mediante el uso de software estadístico existente. Finalmente, se realiza algunas ilustraciones numéricas de la metodología, utilizando datos simulados y reales.En este trabajo se discute el modelo simple con errores de medición y una extensión multivariada, donde se considera principalmente el modelo estructual, suponiendo que el error de la regresión de respuesta sigue una distribución de dos piezas. Después de confi gurar una fórmula general para distribuciones de dos piezas, nos centramos en el caso donde la densidad base es una distribución normal. Lo interesante de usar como densidad base la distribución normal, es que el desarrollo entrega una mezcla de dos componentes de distribuciones skew-normal multivariada. Esta conexión facilita la construcción de un algoritmo tipo EM para realizar la estimación de máxima verosimilitud. Se obtiene la función de probabilidad de los datos observados, que se puede maximizar mediante el uso de software estadístico existente. Inferencia sobre los parámetros de interés puede ser abordado mediante el uso de la matriz de información observada, que también se puede calcular mediante el uso de software estadístico existente. Finalmente, se realiza algunas ilustraciones numéricas de la metodología, utilizando datos simulados y reales.En este trabajo se discute el modelo simple con errores de medición y una extensión multivariada, donde se considera principalmente el modelo estructual, suponiendo que el error de la regresión de respuesta sigue una distribución de dos piezas. Después de confi gurar una fórmula general para distribuciones de dos piezas, nos centramos en el caso donde la densidad base es una distribución normal. Lo interesante de usar como densidad base la distribución normal, es que el desarrollo entrega una mezcla de dos componentes de distribuciones skew-normal multivariada. Esta conexión facilita la construcción de un algoritmo tipo EM para realizar la estimación de máxima verosimilitud. Se obtiene la función de probabilidad de los datos observados, que se puede maximizar mediante el uso de software estadístico existente. Inferencia sobre los parámetros de interés puede ser abordado mediante el uso de la matriz de información observada, que también se puede calcular mediante el uso de software estadístico existente. Finalmente, se realiza algunas ilustraciones numéricas de la metodología, utilizando datos simulados y reales.En este trabajo se discute el modelo simple con errores de medición y una extensión multivariada, donde se considera principalmente el modelo estructual, suponiendo que el error de la regresión de respuesta sigue una distribución de dos piezas. Después de confi gurar una fórmula general para distribuciones de dos piezas, nos centramos en el caso donde la densidad base es una distribución normal. Lo interesante de usar como densidad base la distribución normal, es que el desarrollo entrega una mezcla de dos componentes de distribuciones skew-normal multivariada. Esta conexión facilita la construcción de un algoritmo tipo EM para realizar la estimación de máxima verosimilitud. Se obtiene la función de probabilidad de los datos observados, que se puede maximizar mediante el uso de software estadístico existente. Inferencia sobre los parámetros de interés puede ser abordado mediante el uso de la matriz de información observada, que también se puede calcular mediante el uso de software estadístico existente. Finalmente, se realiza algunas ilustraciones numéricas de la metodología, utilizando datos simulados y reales.
- ItemOn the geography of 3-folds via asymptotic behavior of invariants(2023) Torres Nova, Yerko Alejandro; Urzúa Elia, Giancarlo A.; Pontificia Universidad Católica de Chile. Facultad de MatemáticasRoughly speaking, the problem of geography asks for the existence of varieties of general type after we fix some invariants. In dimension 1, where we fix the genus, the geography question is trivial, but already in dimension 2 it becomes a hard problem in general. In higher dimensions, this problem is essentially wide open. In this paper, we focus on geography in dimension 3. We generalize the techniques which compare the geography of surfaces with the geography of arrangements of curves via asymptotic constructions. In dimension 2 this involves resolutions of cyclic quotient singularities and a certain asymptotic behavior of the associated Dedekind sums and continued fractions. We discuss the general situation with emphasis in dimension 3, analyzing the singularities and various resolutions that show up, and proving results about the asymptotic behavior of the invariants we fix.
- ItemProblemas sobre flujos por curvatura extrínseca no lineales(2023) Torres Santaella, José Gabriel; Sáez Trumper, Mariel; Pontificia Universidad Católica de Chile. Facultad de MatemáticasUn flujo geométrico consiste en encontrar soluciones de ecuaciones parabólicas en derivadas parciales que involucran cantidades geométricas de dos o más variedades dadas. En el caso de los flujos geométricos extrínsecos, las soluciones corresponden a una familia de un parámetro de inmersiones cuyas deformaciones dependen de las curvaturas de la hipersuperficie en una variedad riemanniana ambiente. El flujo geométrico extrínseco más estudiado en la literatura es el flujo por la curvatura media (FCM), ya que es el flujo gradiente del funcional de área. En la Introducción de esta tesis presentamos una breve descripción del FCM actuando sobre hipersuperficies en Rn+1. En particular, queremos mencionar el trabajo pionero de Huisken en [Hui2] que demostró que cualquier hipersuperficie cerrada y convexa en Rn+1, en el sentido de que las curvaturas principales son no negativas, se encoge al evolucionar por FCM hasta un punto en tiempo finito. Este fenómeno se suele denominar como desarrollo de una singularidad bajo el FCM, y es una tarea importante entender por qué aparecen singularidades, y cómo tratar con ellas luego de rescalar la hipersuperficie cerca de la singularidad. Por otra parte, es natural preguntarse qué ocurre si consideramos otras funciones de curvatura en lugar de la curvatura media en el contexto de flujos geométricos extrínsecos. En este espíritu, los trabajos de B. Andrews y sus colaboradores en [And2], [And1], [AMZ] y [ALM] desarrollaron una potente teoría, similar a la dada para el FCM, para hipersuperficies estrictamente convexas en Rn+1, donde la función de curvatura es convexa o cóncava. Por función de curvatura entendemos una función homogénea suave y simétrica cuyo dominio es un cono abierto de Rn. En esta tesis nos interesamos en soluciones eternas, soluciones que están definidas para todo tiempo, de flujos por curvatura extrínseca completamente no lineales tal que la evolución está dada por traslaciones en una dirección unitaria fija. Además, nos referimos a estas soluciones por solitones de traslación de la función de curvatura que estemos estudiando.Los solitones de traslación pueden verse como hipersuperficies en Rn+1 que satisfacen una ecuación diferencial parcial de la forma () = h⌫, vi, donde () es la función de curvatura evaluada en las curvaturas principales de la hipersuperficie, ⌫ es el vector normal unitario que apunta hacia afuera de la hipersuperficie (mirar Remark 5.0.1), y v 2 Sn (normalmente v = en+1) es la dirección de la traslación del flujo. Es importante destacar que esta ecuación es localmente uniforme elíptica cuando las curvaturas principales pertenecen al cono := ⇢ 2 Rn : () > 0, @ @i > 0. Esto nos permite estudiar los trasladores como en el contexto de la geometría diferencial clásica. Por otro lado, cuando la función de curvatura es la curvatura media, los trasladores son un modelo para las singularidades de tipo II del FCM. Esto significa que el supremo de la norma de la segunda forma fundamental estalla en una tasa mayor que O ✓ 1 pT t ◆, donde T es el tiempo máximo de existencia del flujo, y luego de escalar la hipersuperficie de manera adecuada, la evolución de la hipersuperficie converge a un H-traslador del espacio ambiente. Además, los trasladores del FCM son hipersuperficies mínimas en (Rn+1, ehx,vi dx2). Este es un hecho notable para el estudio de estas soluciones ya que la teoría local de hipersuperficies mínimas se puede aplicar para construirlas y caracterizarlas. Desgraciadamente, cuando la función de curvatura no es lineal, sólo se sabe que las singularidades de tipo II pueden modelarse mediante trasladores si además la función de curvatura es convexa como función definida en su dominio. Además, no tenemos esperanzas de que estas hipersuperficies sean mínimas en un espacio euclidiano conforme como en el caso de la curvatura media. Por ello, el estudio de los trasladores para funciones de curvatura no lineales es más complicado, y necesita que se desarrollen otro tipos de técnicas para el desarrollo de esta teoría. Los resultados de esta tesis están en el espíritu de explotar el hecho de que la ecuación () = h⌫, vi es localmente. Uniformemente elíptica cuando 2 . En particular, pudimos desarrollar propiedades geométricas para los trasladores contenidas en el capítulo 5. Una de las propiedades geométricas que obtuvimos fue un principio de tangencia, y como corolarios, también obtuvimos un resultado de no existencia, y un teorema de unicidad cuando el solitón de traslación es un grafo estrictamente convexo definido sobre una bola (mirar Teorema 5.0.5). Este último resultado se obtuvo mediante el método de los planos móviles de Alexandrov aplicado para esta ecuación. Por otra parte, el resultado principal de esta tesis es una estimación de convexidad en el espíritu de [SS], donde los autores mostraron que un H-traslador 2-convexo con H > 0 en Rn con n 3, es convexo. Hasta donde sabemos, sigue siendo un problema abierto si un -traslador que es un gráfico en Rn+1 tal que 2 y : ! R es una función de curvatura cóncava es convexo o no. Afortunadamente, bajo las hipótesis del Teorema de estimación de convexidad 2.2.12, pudimos demostrar que para una función de curvatura estrictamente concava, los -solitones de traslación que son uniformente 2-convexos cuyas curvaturas principales satisfacen ↵H ( + 1) para constantes ↵ y positivas, se tiene que el mínimo de las curvaturas principales es asintóticamente cero al infintio del soliton de traslación. Además, para la familia de las funciones de curvatura Qk = Sk+1 Sk, donde Sk denota el polinomio simétrico elemental de grado k en n-variables, mostramos en el Capítulo 3 estimaciones de gradiente y de segundo orden en el espíritu del trabajo de Ecker y Huisken en [EH1]. La principal contribución de este capítulo es un resultado de tipo Liouville Teorema 3.0.3 para Qk-trasladores que son planos en el infinito. Finalmente, también construimos trasladores rotacionalmente simétricos para la función de curvatura pn Sn y Qn1 en Rn+1. Estas soluciones son de tipo “bowl” ya que son gráficos estrictamente convexos definidos en una bola o en todo Rn. Merece la pena mencionar un trabajo reciente de [Ren], en el que el autor construye soluciones de tipo “bowl” para una clase general de funciones de curvatura que son ↵-homogéneas con ↵ 1. 2 . Además, caracterizó cuándo la solución de tipo “bowl” estará definida en una bola o en todo el hiperplano en términos de la función de curvatura.
- ItemSome advances in a conjecture of Watkins and an analogue over function fields(2023) Caro Reyes, Jerson; Pastén Vásquez, Héctor; Pontificia Universidad Católica de Chile. Facultad de MatemáticasOur results are divided into two main parts, both related to a conjecture by Watkins. In 2002, Watkins conjectured that the rank of an elliptic curve defined over Q is at most the 2-adic valuation of its modular degree. The first part is related to presenting some approaches to Watkins’s conjecture in its original version. We prove this conjecture for semistable elliptic curves having exactly one rational point of order 2, provided that they have an odd number of primes of non-split multiplicative reduction or no primes of split multiplicative reduction. In addition, we show that this conjecture is satisfied when E is any quadratic twist of an elliptic curve with non-trivial rational 2-torsion and prime power conductor, in particular, for the congruent number elliptic curves. In the second part, we consider the analogous problem over function fields of positive characteristic, and we prove it in several cases. More precisely, every modular semistable elliptic curve over Fq(T) after extending constant scalars and every quadratic twist of a modular elliptic curve over Fq(T) by a polynomial with sufficiently many prime factors satisfy this version of Watkins’s conjecture. Additionally, we prove the analogue of Watkins’s conjecture for a well-known family of elliptic curves with unbounded rank due to Ulmer. In addition, we include a final appendix describing joint work with Hector Pasten [16] on a generalization of the Chabauty-Coleman bound for surfaces. While this is not directly related to the core of the thesis, it is a report on work that was performed during my time as a Ph.D. student.
- ItemThe noncommutative geometry of the Landau Hamiltonian(2024) Sandoval, Maximiliano; De Nittis, Giuseppe; Pontificia Universidad Católica de Chile. Facultad de MatemáticasThis dissertation will present three works in the areas of noncommutative geometry, the study of the Landau Hamiltonian, and the study of rational noncommutative tori making use of complex geometry and theta functions. The first two works focus primary on extending Bellissard’s work on the noncommutative geometry of the Hall Effect to the case where the medium is continuous case making use of a novel Dirac Operator, closely related to the isotropic quantum harmonic oscillator. We study the resulting spectral triple and its properties as a noncommutative space. Notably we provide proofs for the first and second Connes formulas for this spectral triple. The third work deals with the study of a pair of dual representations of rational noncommutative tori with rational parameters θ and θ −1, how we can naturally construct a vector bundles on a complex tori from to them, and hint how this duality is a manifestation of the Fourier-Mukai-Nahm transform.
- ItemZero temperature limits for quotients of potentials on Countable Markov Shifts(2022) Pinto Pérez, Nicolás Francisco; Iommi Echeverría, Godofredo; Pontificia Universidad Católica de Chile. Facultad de Matemáticas