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- ItemAlmost 1-1 extensions, equicontinuous systems and residually finite groups(2024) Gómez Ortiz, Jaime Andrés; Cortéz, María Isabel; Pontificia Universidad Católica de Chile. Facultad de MatemáticasThe purpose of this document is to present our study on the various properties of almost 1-1 extensions of G-odometers with regards to the realization of Choquet simplices, mean-equicontinuity, and the construction of specific almost 1-1 exten- sions of equicontinuous systems. These systems can be viewed as a topological generalization of equicontinuous systems with diverse behavior on some aspects as entropy, the set of probability invariant measures, and more. Each problem is addressed within a general framework without assuming any amenable property on the acting group, except for the last problem where amenability was essential for constructing a specific type of almost 1-1 extensions. This thesis is divided into three parts, with the first two chapters presenting the results of two different manuscripts that are published and submitted, respectively.
- ItemMétodos DPG para el problema quad-curl(2024) Herrera Ortiz, Pablo; Heuer, Norbert; Führer, Thomas; Pontificia Universidad Católica de Chile. Facultad de MatemáticasLos problemas relevantes de la magnetohidrodinámica y la dispersión electromagnética utilizan operadores diferenciales de cuarto orden de tipo rotacional, generalmente denominados operadores quad-curl. Su uso requiere métodos de aproximación numérica. En el caso de los operadores quad-curl, la literatura correspondiente es escasa. La discretización de operadores de cuarto orden es difícil debido al requisito de regularidad para las aproximaciones conformes y la presencia de kernels no triviales. Proponemos emplear el método de Petrov-Galerkin discontinuo (método DPG) con funciones de test óptimas. Este es un marco propuesto por Demkowicz y Gopalakrishnan que tiene como objetivo la estabilidad discreta automática de los esquemas de aproximación.El trabajo está dividido en tres partes. La primera parte examina el problema quad-div en dos y tres dimensiones, mostrando su relación con el operador quad-curl $Curl^4$ en el caso 2D. Presentamos el problema como sistemas de primer y segundo orden. Adicionalmente, proporcionamos un método completamente discreto y realizamos un experimento numérico para el caso adaptativo. En la segunda parte, escribimos el operador quad-curl como $-\Curl\Delta\Curl$, formulamos el problema como un sistema de segundo orden y proporcionamos una formulación variacional ultra-débil. Utilizamos los operadores de Fortin del método DPG para el problema de Kirchhoff--Love en 2D para analizar el esquema completamente discreto. Mostramos una aplicación al problema de Stokes en 2D con cargas en $L_2$ y $H^{-1}$. En la tercera parte, estudiamos directamente el operador $\Curl^4$ en 3D como un sistema de segundo orden y proporcionamos una formulación variacional ultra-débil. En este caso, la existencia de un operador de Fortin es un problema abierto.A lo largo de la tesis, empleamos el marco teórico DPG con formulaciones ultra-débiles. La mayor parte de nuestro análisis se centra en estudiar los operadores de traza, los espacios de traza y los saltos. Estos son claves para caracterizar la regularidad, la conformidad y las condiciones de contorno. Desarrollamos operadores de Fortin los cuales son necesarios para la estabilidad de las formulaciones mixtas. Para todos los casos definimos y analizamos los operadores de traza y espacios necesarios, demostramos el buen planteamiento de las formulaciones variacionales y su discretización, y derivamos estimaciones de error a priori.También examinamos técnicas para la inclusión de condiciones de contorno no homogéneas.Proporcionamos experimentos numéricos para todos los problemas y formulaciones. Estos confirman las propiedades de convergencia esperadas.
- ItemThe Generalized Torelli Problem through the geometry of the Gauss map(2024) Rahausen Rodríguez, Sebastián Andrés; Auffarth, Robert; Pontificia Universidad Católica de Chile. Facultad de MatemáticasGiven a non-hyperelliptic curve C of genus g and 1
- ItemOn computing the rank of hyperelliptic curves over Q(T) defined by linear and quadratic polynomials in the T-variable(2024) Seguel Carreño, Tomás Antonio; García Fritz, Natalia Cristina; Pontificia Universidad Católica de Chile. Facultad de Matemáticas
- ItemInference from RDS data over Directed Networks(2023) Sepúlveda Peñaloza, Alejandro Adrián; Beaudry, Isabelle; Pontificia Universidad Católica de Chile. Facultad de MatemáticaEl muestreo dirigido por los encuestados (Respondent-Driven Sampling, RDS) es una técnica utilizada para recolectar datos de poblaciones humanas socialmente conectadas que no tienen un marco de muestreo definido. Un paso fundamental para realizar inferencias basadas en el diseño de datos RDS es estimar las probabilidades de muestreo. Tradicionalmente, se ha asumido que una cadena de Markov de primer orden sobre una red completamente conectada y no dirigida representa adecuadamente el RDS. Sin embargo, este modelo simplificado no tiene en cuenta que la red puede ser dirigida y homofílica. Este trabajo propone métodos para abordar estos problemas y estimar la prevalencia de un estado de infección en redes de este tipo.Las principales contribuciones metodológicas de esta tesis son tres: primero, la introducción de un modelo de configuración de red parcialmente dirigida y homofílica; segundo, el desarrollo de dos representaciones matemáticas del proceso de muestreo RDS en el modelo propuesto; y tercero, la propuesta de un modelo bayesiano que considera una red dirigida y el número de conexiones entre nodos infectados y no infectados para estimar la prevalencia del estado de infección.Se realizaron estudios de simulación para demostrar que las probabilidades de muestreo resultantes con nuestras propuestas son similares a las del RDS tradicional, mejorando la estimación de prevalencia bajo diversos escenarios realistas, asumiendo que dichas probabilidades son conocidas. La estimación de la prevalencia del estado de infección se realiza bajo fuertes suposiciones sobre la red, como la ausencia de homofilia o la dirección de los bordes.Para la aplicación del modelo, se utilizó la teoría de copulas, el modelamiento de distribuciones marginales y un modelo de superpoblación para estimar información a partir de datos no observados de la red. Las simulaciones realizadas mostraron una mejora en la estimación de la prevalencia del estado de infección en términos de sesgo y variabilidad utilizando datos de RDS.