Spectral methods for boundary integral equations in complex media

Abstract

La simulación de problemas físicos por medio de modelos matemáticos, tradicionalmente, se traduce en un sistema de ecuaciones diferenciales parciales cuya solucion descrive el comportamiento de las cantidades físicas en consideración. Pese a que la teoría matematica provee resultados sobre la existencia, unicidad, y comportamientos asintoticos de las soluciones, solo en relativamente pocos casos se cuentan con una foma explicita para estas últimas. Por esta razon se han desarrollado diversos metodos de aproximación. Los métodos más convencionales de aproximación consisten en usar functiones locales (tipicamente definidas sobre una malla) junto con un método numerico. Este ultimo, converte el sistema de ecuaciones diferenciales parciales en un sistema lineal, culla solución da los valores a las functiones locales para construir la aproximación. Por otra parte se sabe que la utilización de funciones globales de alto orden (métodos espectrales) pueden aproximar las soluciones de las ecuaciones mas rápidamente. Sin embargo, su uso ha sido tradicionalmente limitado por las dificultades que surgen al implementar estos métodos. El objetivo de esta tesis es mostrar que en ciertas circunstancias los métodos espectrales pueden ser implementados de manera eficaz y podemos mostrar rigurosamente las propiedades de convergencia rápida. En particular nos centraremos en problemas de difracción de ondas acústicas (o electromagnéticas en ciertas polarizaciones) los cuales pueden ser modelados utilizando una formulación de integrales de frontera. Más específicamente consideramos tres casos: (i) Problemas de múltiples arcos abiertos en dos dimensiones. (ii) Problemas cuasi-periódicos en dos dimensiones. (iii) Problemas de superficies abiertas en tres dimensiones. En cada uno de estos problemas describiremos adecuadamente el método espectral correspondiente, analizaremos sus propiedades desde un punto de vista mátematico, y detallaremos como pueden ser implementados.