3.10 Tesis magíster

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https://repositorio.uc.cl/handle/11534/21490

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Browsing 3.10 Tesis magíster by Author "Benguria Donoso, Rafael"

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    Aplicación de Análisis Armónico Para la Estimación de los Autovalores del Laplaciano
    Cádiz Carvajal, Rodrigo Esteban; Benguria Donoso, Rafael; Pontificia Universidad Católica de Chile. Instituto de Física
    En este trabajo se comienzan analizando dominios elípticos Ω para observar cómo se comportan dos conjeturas abiertas relacionando la distancia al origen de la variedad nula N(Ω) y el segundo autovalor del laplaciano de Dirichlet asociado a Ω. En este sentido, se encuentran expresiones analíticas para la variedad nula y para la distancia al origen k(Ω). A partir de lo anterior, se estudia cómo la excentricidad de las elipses influye en las conjeturas, en particular, cuando se consideran excentricidades cercanas a uno, donde se tienen resultados para grandes deformaciones de un disco. Como parte de este análisis, y para determinar los autovalores del laplaciano de Dirichlet, se estudia brevemente las propiedades del operador de Mathieu y su conexión con la ecuación de Schrödinger con potencial V(x)=4x^2, pero se da énfasis al análisis de la ecuación de Mathieu y la ecuación de Hill, donde se investigan las propiedades de las ecuaciones diferenciales periódicas. En esta misma línea, se cuenta con un estudio de las condiciones de borde del problema, y se implementa un programa en Python para determinar numéricamente los autovalores. En consecuencia, se obtiene información numérica que representa evidencia numérica fuerte que respalda la segunda conjetura. Para continuar, se estudia una extensión del estudio de las conjeturas a espacios de curvatura constante distinta de cero, donde destacan la n-esfera S^n, y el espacio hiperbólico H^n. Se encuentra que la compacidad de S^n no permite encontrar la variedad nula, y para esto es necesario estudiar el espacio H^n. En el estudio de H^n, se cuenta con una descripción de dos modelos de trabajo, para hacer énfasis en el modelo de la esfera de Poincaré, especializando para el caso n=3. En este espacio, se trabaja con una bola geodésica, donde se determina la variedad nula y el segundo autovalor de Laplace--Beltrami mediante el método de Shooting, para encontrar que se pierde la intuición acerca de cómo luce la segunda conjetura en este espacio, pudiendo escribirla de una forma modificada. Finalmente, se estudian perturbaciones de una esfera unitaria en R^3, donde se analizan tres casos de forma perturbativa, y se concluye que es necesario contar con un método de análisis alternativo para obtener información.
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    Properties of four-component Dirac operators describing graphene quantum dots
    (2020) Vallejos Benavides, Cristóbal; Benguria Donoso, Rafael; Pontificia Universidad Católica de Chile. Instituto de Física
    The electronic properties of graphene quantum dots (GQDs) can be described by the two-dimensional Dirac equation with boundary conditions consistent with the tight-binding model on a honeycomb lattice. It is convenient to know which boundary conditions are allowed by elemental physical principles of current conservation. We consider the four-component two-valley massless Dirac operator on planar domains describing GQDs. We show how to reduce the problem into the study of the two-component Dirac operator. For a large class of boundary conditions, not including the zigzag orientation, we give a proof of their self-adjointness for four-component spinor wave functions in the Sobolev space H¹. In particular, in each case, we find a lower bound to the spectral gap around zero, proportional to the inverse of the square root of the area of the domain and depending only in the mixing angle. We also discuss the boundary conditions conserving (breaking) the electron-hole and time reversal symmetries.